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Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé
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Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé Actualités

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

LE GUIDE Naturellement

Agenda . . .

11 - Aude

►Jusqu'au 21 septembre

EXPOSITION
"ESCALE EN MÉDITERRANÉE ROMAINE"
 
Après 10 années de recherches, et à travers plus de 150 objets archéologiques, l'exposition présente les principaux sites du système portuaire narbonnais, inscrit le port de Narbo Martius dans le réseau des ports de commerce romains de Méditerranée occidentale et détaille les activités et les métiers qui se développaient au sein de ce port. 

Musée Narbo Via
2 avenue André Mècle
11100 Narbonne
04 68 90 28 90
https://narbovia.fr

20 - Haute-Corse

►Le 26 avril

"ATELIER DE PEINTURE VÉGÉTALE"

Découvrez quelques plantes du parc et plantes sauvages, fabriquez vos aquarelles végétales avec une large gamme de couleurs et profitez d’un temps pour peindre avec les couleurs naturelles que vous aurez créées.
Infos et inscriptions au 07 68 83 07 79 ou kurcubitace@gmail.com.
Tarif : 30 €/personne.

Parc de Saleccia
Route de Bastia 
20220 Ile-Rousse
04 95 36 88 83
www.parc-saleccia.fr

25 - Doubs

►Jusqu'au 30 avril 

EXPOSITION 
"URGENCE CARBONE"

Urgence Carbone, œuvre d’Iris Leroyer réalisée en charbon de bois, symbolise une Terre carbonisée, qui souligne notre inertie face aux dérèglements de notre planète, en péril. Cette œuvre entre ainsi en dialogue avec les projections en grand format des sites du patrimoine mondial dans le Centre de lumières. 

Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
03 81 54 45 13
www.salineroyale.com

►Du 1er juin au 19 octobre

FESTIVAL DES JARDINS
"L'ÉCOLE BUISSONNIÈRE"

Pour sa 25ème édition, en famille, découvrez des jardins ludiques et interactifs pensés pour reconnecter les enfants à la nature et développer leurs sens. Une porte d’entrée sur le rêve et l’imaginaire. Bien plus qu’un jardin, une expérience.

 Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
03 81 54 45 13
www.salineroyale.com

30 - Gard

►Du 14 au 25 avril

"ACTIVITÉS VACANCES DE PÂQUES"
GROTTE DE LA SALAMANDRE

La Grotte de la Salamandre célèbre le printemps avec un programme ludique et familial placé sous le signe de la nature et de l’imaginaire. Ateliers créatifs, escape game souterrain, chasse au trésor et omelette géante : tout est réuni pour offrir aux visiteurs une expérience joyeuse et enrichissante.

Grotte de la Salamandre
30430 Méjannes le Clap
04 66 600 600
www.grottedelasalamandre.com

31 - Haute-Garonne

►Le 27 avril

"JOURNÉE COCKPIT"
AILES ANCIENNES TOULOUSE

Les Ailes Anciennes organisent leur 1ère édition 2025 de la célèbre "Journée Cockpit". Cette année notre association a choisi de mettre à l’honneur l’aviation et l’automobile. Seront donc présents les membres de l’association « American Feeling Car Club » créée en 1989. Ces passionnés présenteront quelques-uns de leurs plus beaux véhicules américains à côté de nos aéronefs.

Ailes Anciennes Toulouse
Parking Site Aéroscopia - Allée André Turcat
31700 Blagnac
05 62 13 78 10
www.aatlse.org

 

52 - Haute-Marne

►Du 9 avril au 21 septembre

EXPOSITION
"AOTEAROA NOUVELLE-ZÉLANDE, LES PROTECTEURS DE L’ARCHE PERDUE"

Sabine Bernert vous guidera à la rencontre du rare Kakapo, ce perroquet nocturne au bord de l’extinction, de l’étonnant Kiwi et du mystérieux Tuatara, un reptile aux origines préhistoriques. À travers des récits émouvants et des témoignages inspirants, découvrez le combat quotidien de leurs protecteurs dévoués, déterminés à préserver ces trésors uniques. Un voyage entre légendes et réalités.

Musée de Saint-Dizier
17 rue de la Victoire 
52100 Saint-Dizier
03 25 07 31 50
www.saint-dizier.fr

62 - Pas-de-Calais

►Jusqu'au 4 avril

EXPOSITION
"CLUB DE PEINTURE DE BARLIN"

Au Musée Municipal Bruno Danvin, le Club de peinture de Barlin, animé par Laetitia Morez, expose 9 artistes (peinture, pastel, acrylique...).

Musée municipal Bruno Danvin
Rue Oscar Ricque
62130 Saint-Pol-sur-Ternoise
03 21 04 56 25 / 07 89 08 15 64 
www.saintpolsurternoise.fr

63 - Puy-de-Dôme

►Jusqu'au 18 mai

EXPOSITIONS
"Les extraordinaires aventures de Jean-Pierre Alibert" 
"Le Cabinet de Curiosités de Riom Limagne et Volcans" 
"Attention fragile !"

Le musée Mandet présente trois expositions inédites, mêlant art, histoire et sensibilisation environnementale. À travers ces expositions, vous découvrirez la richesse du monde animal, de l’héritage d’un aventurier du XIXe siècle et d’une création artistique participative unique inspirée des cabinets de curiosités.

Musée Mandet
14 rue de l’Hôtel de Ville
63200 Riom
04 73 38 18 53
www.rlv.eu/decouvrir/musees/musee-mandet-1

65 - Hautes Pyrénées

►Le 19 avril

"GARGAS BY NIGHT : LES ANIMAUX DE GARGAS !"

Ce sont les qui seront à l’honneur pendant cette soirée. Ils sont gravés ou peints sur les parois, ils ont été mangés par les gravettiens, ils ont vécu ou vivent encore dans la grotte…
Partez à la découverte du bestiaire des grottes de Gargas dans l'ambiance lumineuse de ce qui devait être celle des Cro-magnons. 
Grottes de Gargas / Nestploria

Grottes de Gargas / Nestploria
81 route de Gargas
65660 Aventignan
05 62 98 81 50
www.grottesdegargas.fr

67 - Bas-Rhin

►Jusqu'au 6 avril

EXPOSITION PHOTOGRAPHIQUE
"MOSSI : UN VASE, DES SAVOIR-FAIRE"

Découvrez les différentes étapes de fabrication du vase Mossi au travers des images prises à la manufacture Lalique par Karine Faby, un des Meilleurs Ouvriers de France 2023 en photographie industrielle.

Musée Lalique
40 rue du Hochberg
67290 Wingen-sur-Moder
03 88 89 08 14
www.musee-lalique.com

►Jusqu'au 6 avril

MUSÉE LALIQUE
"JOURNÉES EUROPÉENNES DES MÉTIERS D’ART"

Le Musée Lalique propose des démonstrations par des personnes travaillant à la cristallerie, personnalisation d’objets achetés en boutique via une petite gravure et un jeu inédit pour tenter de gagner une visite de la manufacture ! Un atelier satinage à partir de 7 ans les 5 et 6 avril. 

Musée Lalique
40 rue du Hochberg
67290 Wingen-sur-Moder
03 88 89 08 14
www.musee-lalique.com

71 - Saône-et-Loire

►Du 19 avril au 4 mai

"ATELIERS VACANCES DE PRINTEMPS"
LA MAISON DU CHAROLAIS

Des ateliers pour toute la famille : le hamburger du printemps avec une recette de pain vert, de fleurs et de feuilles avec une recette surprise, les petits artistes pourront se divertir avec l’atelier la "charolaise prend des couleurs" et la "charolaise en pointillés", et pour les amateurs de suspens, la chasse au trésor.

La Maison du Charolais
43 route de Mâcon
71120 Charolles
03 85 88 04 00
https://www.maison-charolais.com

75 - Paris

►Jusqu'au 31 août

EXPOSITION
"ALFRED DREYFUS. VÉRITÉ ET JUSTICE"

Le mahJ revient sur "l’Affaire" pour rappeler les grandes étapes de ce moment crucial de l’histoire de France. L'exposition révèle le combat acharné de Dreyfus pour faire éclater la vérité, corrigeant l'image d'un homme spectateur de la machination qui le conduisit à passer plus de quatre années à l'île du Diable et encore sept à lutter pour sa réhabilitation. 

Musée d’art et d’histoire du Judaïsme
71 rue du Temple
75001 Paris
01 53 01 86 53
www.mahj.org

►Du 8 avril au 31 juillet

EXPOSITION
"CLEMENCEAU ET BERTA ZUCKERKANDL"

Le musée Clemenceau invite le public à découvrir sa nouvelle exposition-focus Clemenceau, Berta Zuckerkandl, une amitié autour de l’art entre Vienne et Paris. À cette occasion, le musée présente deux dessins de Rodin issus de ses collections ainsi qu'un portrait inédit de Sophie Clemenceau, soeur de Berta et épouse du frère de Georges, Paul, réalisé par Eugène Carrière.

Musée Clemenceau
8 rue Benjamin Franklin
75116 Paris
01 45 20 53 41
https://musee-clemenceau.fr

►Jusqu'au 11 mai 

EMPREINTE CARBONE, L'EXPO !

Conçue pour un public familial et articulée en trois parties, Empreinte carbone, l’expo ! vise à déconstruire les présupposés et les idées reçues sur notre empreinte carbone, à en examiner les mécanismes et à proposer aux visiteurs un espace de réflexion sur les actions à mener face au défi du changement climatique. 

Musée des Arts et Métiers
60 rue Réaumur
75003 Paris
01 53 01 82 63
www.arts-et-metiers.net

►Jusqu'au 16 novembre 

EXPOSITION
"PAULA PADANI. LA DANSE MIGRANTE : HAMBOURG, TEL-AVIV, PARIS"

L’exposition retrace le parcours méconnu de la danseuse Paula Padani (1913-2001) à travers plus de 250 photographies, affiches, documents et costumes. Par sa vision du mouvement comme force de vie, par sa capacité de rebond entre plusieurs pays et cultures, elle aura frayé de nouvelles routes pour son art et joué un rôle pionnier dans l’émergence de la danse contemporaine israélienne. 

Musée d’art et d’histoire du Judaïsme
71 rue du Temple
75001 Paris
01 53 01 86 53
www.mahj.org

84 - Vaucluse

►Jusqu'au 10 juin

EXPOSITIONS
"CIRCUIT COURT & DÉTOURS"

Une exposition sous le signe du "local", et du mouvement. Paysages, scènes de la vie quotidienne, portraits et natures mortes, peintres des 19e et 20e siècles liés à Avignon ou sa région, œuvres issues de collections particulières des environs d'Avignon et du musée Vouland. 

Musée Louis Vouland
17 rue Victor-Hugo
84000 Avignon
04 90 86 03 79
www.vouland.com

►Jusqu'au 10 juin

EXPOSITIONS
JEAN-PIERRE GRAS (1879-1964)

Sculpteur et peintre avignonnais, Jean-Pierre Gras est le fils du félibre Félix Gras. Élève de Pierre Grivolas proche de nombreux artistes de la « nouvelle école d’Avignon », il est membre du Groupe des Treize.

 Musée Louis Vouland
17 rue Victor-Hugo
84000 Avignon
04 90 86 03 79
www.vouland.com

Lieux:
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